Erste Schritte

BEMERKUNG

Sollte es R Befragte geben, mit Individuen r = 1 ... R. Lassen Sie jeden Befragten T Aufgaben sehen, mit t = 1 ... T. Lassen Sie jede Aufgabe t C Konfigurationen (oder Konzepte) haben, mit c = 1 ... C (C ist in unserem Fall normalerweise 3 oder 4).

Wenn wir A-Attribute haben, a = 1 bis A, wobei jedes Attribut La-Stufen hat, l = 1 bis La, dann ist der Teilwert für a ein bestimmtes Attribut/Ebene w'(a,l). Es ist dieses (gezackte Feld) von Teilwerten, für das wir in dieser Übung eine Lösung suchen. Wir können dies zu einem eindimensionalen Feld w(s) vereinfachen, in dem sich die Elemente befinden:
```
{w’(1,1), w’(1,2) ... w’(1,L1), w’(2,1) ... w’(A,LA)} wobei w S-Elemente hat.
```
Eine spezifische Konfiguration x kann als ein eindimensionales Feld x(s) dargestellt werden, wobei x(s)=1, wenn die spezifische Ebene/Attribute vorhanden sind. Wenn das nicht der Fall ist 0.

Lassen Sie Xrtc die spezifische Konfiguration der c-ten Konfiguration in der t-ten Aufgabe für den r-ten Befragten darstellen. So ist der Versuchsplan die vierdimensionale Matrix X mit der Größe RxTxCxS.

Wenn der Befragte r die Konfiguration c in Aufgabe t wählt, lassen Sie Yrtc=1, sonst ist der Wert 0.
NUTZEN EINER BESTIMMTEN KONFIGURATION
Der Utility Ux einer bestimmten Konfiguration ist die Summe der Teil-Werte für diejenigen Attribute/Ebenen, die in der Konfiguration, d.h. es ist das skalare Produkt x.w.
DAS MULTI-NOMIALE LOGIT-MODELL

Für eine einfache Wahl zwischen zwei Konfigurationen, mit den Versorgungseinrichtungen U1 und U2, sagt das MNL-Modell voraus, dass die Konfiguration 1 gewählt wird.
```
EXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2)) der Zeit (eine Zahl zwischen 0 und 1).
```
Bei einer Wahl zwischen N Konfigurationen wird die Konfiguration 1 gewählt.
```
EXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2) + ... + EXP(UN)) der Zeit.
```
MODELLIERTE WAHLWAHRSCHEINLICHKEIT

Lassen Sie die Auswahlwahrscheinlichkeit (unter Verwendung des MNL-Modells) für die Wahl der c-ten Konfiguration in der t-ten Aufgabe für den r-ten Befragten sein:
```
     Prtc=EXP(xrtc.w)/SUM(EXP(xrt1.w), EXP(xrt2.w), ... , EXP(xrtC.w))
```
LOG-WAHRSCHEINLICHKEITSMESSUNG

Das Log-Likelihood-Maß LL wird berechnet als:

Prtc ist eine Funktion des Teil-Wert-Vektors w, der die Menge der Teil-Werte ist, für die wir eine Lösung suchen.
LÖSUNG FÜR TEIL-WERTE MIT MAXIMALER WAHRSCHEINLICHKEIT

Wir lösen für den Teilwertvektor, indem wir den Vektor w finden, der den Maximalwert für LL ergibt. Beachten Sie, dass wir für S-Variablen lösen.

Hierbei handelt es sich um ein mehrdimensionales nichtlineares kontinuierliches Maximierungsproblem, das eine Standard-Lösungsbibliothek erfordert. Wir verwenden den Nelder-Mead-Simplex-Algorithmus.

Die Log-Likelihood-Funktion sollte als eine Funktion LL(w, Y, X) implementiert und dann optimiert werden, um den Vektor w zu finden, der das Maximum darstellt. Die Antworten Y und der Entwurf X sind gegeben und für eine spezifische Optimierung konstant. Anfangswerte für w können auf den Ursprung 0 gesetzt werden.

Die endgültigen Teilewerte w werden neu skaliert, so dass die Teilewerte für jedes Attribut einen Mittelwert von Null haben, indem einfach der Mittelwert der Teilewerte für alle Ebenen jedes Attributs subtrahiert wird.