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NOTATION

Soit R répondants, avec des individus r = 1 ... R

Laissez chaque répondant voir T tâches, avec t = 1 ... T

Soit chaque tâche t avoir C configurations (ou concepts), avec c = 1 ... C (C dans notre cas vaut généralement 3 ou 4)

Si nous avons A attributs, a = 1 à A, chaque attribut ayant La niveaux, l = 1 à La, alors la valeur partielle pour a

attribut/niveau particulier est w'(a,l). C'est ce (tableau irrégulier) de valeurs de pièces que nous résolvons dans cet exercice. Nous pouvons

simplifiez cela en un tableau unidimensionnel w(s), où les éléments sont :
```
 {w'(1,1), w'(1,2) ... w'(1,L1), w'(2,1) ... w'(A,LA)} avec w ayant S éléments .
```
Une configuration spécifique x peut être représentée par un tableau unidimensionnel x(s), où x(s)=1 si la configuration spécifique

niveau/attribut est présent, et 0 sinon.

Soit Xrtc la configuration spécifique de la cème configuration dans la tème tâche pour le rème répondant. Ainsi, le

le plan d'expérience est représenté par la matrice quadridimensionnelle X de taille RxTxCxS

Si le répondant r choisit la configuration c dans la tâche t alors soit Yrtc=1 ; sinon 0.
UTILITY OF A SPECIFIC CONFIGURATION
L'utilitaire Ux d'une configuration spécifique est la somme des valeurs partielles pour ces attributs/niveaux présents dans la configuration, c'est-à-dire qu'il s'agit du produit scalaire xw
THE MULTI-NOMIAL LOGIT MODEL

Pour un choix simple entre deux configurations, avec les utilités U1 et U2, le modèle MNL prédit que la configuration 1 sera choisie
```
 EXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2)) du temps (un nombre compris entre 0 et 1).
```
Pour un choix entre N configurations, la configuration 1 sera choisie
```
 EXP(U1)/(EXP(U1) + EXP(U2) + ... + EXP(UN)) du temps.
```
MODELED CHOICE PROBABILITY

Soit la probabilité de choix (en utilisant le modèle MNL) de choisir la cème configuration dans la tème tâche pour le rème répondant :
```
 Prtc=EXP(xrtc.w)/SOMME(EXP(xrt1.w), EXP(xrt2.w), ... , EXP(xrtC.w))
```
LOG-LIKELIHOOD MEASURE

La mesure de log-vraisemblance LL est calculée comme suit :

Prtc est une fonction du vecteur de valeur partielle w, qui est l'ensemble des valeurs partielles que nous résolvons.
SOLVING FOR PART-WORTHS USING MAXIMUM LIKELIHOOD

Nous résolvons le vecteur part-worth en trouvant le vecteur w qui donne la valeur maximale pour LL. Notez que nous résolvons pour les variables S.

Il s'agit d'un problème de maximisation continue non linéaire multidimensionnel, et nécessite une bibliothèque de solveurs standard. Nous utilisons l'algorithme Nelder-Mead Simplex.

La fonction Log-Likelihood doit être implémentée comme une fonction LL(w, Y, X), puis optimisée pour trouver le vecteur w qui nous donne un maximum. Les réponses Y et le plan X sont donnés et constants pour une optimisation spécifique. Les valeurs initiales de w peuvent être définies à l'origine 0.

Les valeurs partielles finales w sont remises à l'échelle de sorte que les valeurs partielles de tout attribut aient une moyenne de zéro, simplement en soustrayant la moyenne des valeurs partielles pour tous les niveaux de chaque attribut.